齊次函數意思

在數學中，特別是在函數論和微分方程中，齊次函數（Homogeneous function）是指這樣一種函數：當其所有參數同時乘以一個相同的非零常數時，函數的值也恰好乘以這個常數。換句話說，齊次函數滿足以下性質：

對於任意非零實數λ和任意實數x1, x2, ..., xn，有

f(λx1, λx2, ..., λxn) = λ^df(x1, x2, ..., xn)

其中d是函數的齊次次數（degree of homogeneity）。

例如，函數f(x, y) = x^2 + y^2是齊次函數，其齊次次數為2，因為

f(λx, λy) = (λx)^2 + (λy)^2 = λ^2(x^2 + y^2) = λ^2f(x, y)

另一個例子是函數g(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3，其齊次次數為3，因為

g(λx, λy, λz) = (λx)^3 + (λy)^3 + (λz)^3 = λ^3(x^3 + y^3 + z^3) = λ^3g(x, y, z)

齊次函數在幾何上特別重要，因為它們保持了空間中點的某些性質，例如距離和角度。在微分方程中，齊次微分方程是指那些在變量同時改變比例時保持不變的方程。