矩陣的跡是什麼意思

在線性代數中，矩陣的跡（trace）是指矩陣主對角線上所有元素的總和。換句話說，如果一個矩陣 A 有 n 個元素，且 A 的第 i 個元素在主對角線上（即 A[i, i]），那麼 A 的跡（記為 tr(A) 或 A）就是這些元素的總和：

tr(A) = A[1, 1] + A[2, 2] + ... + A[n, n]

跡是一個非常重要的矩陣性質，它具有許多有用的性質，例如：

1. 跡對轉置不敏感：tr(A) = tr(A^T)，其中 A^T 是 A 的轉置矩陣。
2. 跡的代數和性質：tr(A + B) = tr(A) + tr(B)，其中 A 和 B 是任意矩陣。
3. 跡的連乘性質：tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BAC)，其中 A, B, C 是任意矩陣。
4. 跡的非負性：tr(A) 是非負的，即 tr(A) ≥ 0。

跡在許多線性代數的應用中都非常重要，例如在特徵值問題中，一個矩陣的特徵值之和就是它的跡。