標量積意思
標量積（Scalar product），又稱為點積、內積或標量積分，是數學中兩個向量的運算。在幾何上，標量積的結果是一個數值（稱為標量），它表示兩個向量在大小上的關係，以及它們之間的夾角。在物理學中，標量積通常用來計算功、力矩和能量的量。
標量積的計算公式為： [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta ] 其中，( \mathbf{a} ) 和 ( \mathbf{b} ) 是兩個向量，( |\mathbf{a}| ) 和 ( |\mathbf{b}| ) 分別是它們的大小（即向量長度），( \theta ) 是它們的夾角，( \cos \theta ) 是夾角的餘弦值。
標量積滿足以下性質：
- 交換律：( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} )
- 分配律：( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} )
- 對數乘法的分配律：( (\alpha \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \alpha (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) )
- 對數乘法的分配律：( \mathbf{a} \cdot (\alpha \mathbf{b}) = \alpha (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) )
- 正定性：( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0 )，當且僅當 ( \mathbf{a} ) 是零向量時等於零。
標量積與向量的叉積不同，叉積產生的結果是一個向量，而不是一個標量。在三維空間中，向量的叉積與標量積一起，提供了向量之間關係的完整描述。