抽象群是什麼意思
在數學中，特別是群論中，一個抽象群（或簡稱群）是一個僅根據其運算滿足的集合。具體來說，一個抽象群是一個三元組 (G, ∗)，其中 G 是集合，∗ 是 G 上的一個二元運算，滿足以下公理：
- 封閉性：對於 G 中的所有 a 和 b，a ∗ b 也在 G 中。
- 結合律：對於 G 中的所有 a, b 和 c，(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)。
- 存在單位元：存在 G 中的一個元素 e，使得對於 G 中的所有 a，有 e ∗ a = a ∗ e = a。
- 存在逆元：對於 G 中的每個 a，存在一個元素 a' 使得 a ∗ a' = a' ∗ a = e。
這裡的運算 ∗ 可以是加法、乘法或其他任何二元運算，但它在 G 上的具體定義並不重要，重要的是它滿足上述公理。抽象群的概念允許我們研究群的性質，而不考慮群的特定表示或結構。
例如，考慮整數集 Z 上的加法運算。我們可以定義一個抽象群 (Z, +)，其中 + 是加法運算。這個群的單位元是 0，因為對於任何整數 a，有 0 + a = a + 0 = a。每個整數 a 都有一個加法逆元 -a，因為 a + (-a) = (-a) + a = 0。這個群的封閉性和結合律顯然是成立的。
另一個例子是複數集 C 上的乘法運算。我們可以定義一個抽象群 (C{0}, ×)，其中 × 是乘法運算，且排除 0 是因為 0 沒有乘法逆元。這個群的單位元是 1，每個非零複數 a 都有一個乘法逆元 a^(-1)，即 a 的複數共軛除以 a 的模的平方。這個群的封閉性和結合律也是顯然成立的。
抽象群的概念在數學的各個分支中都有廣泛的套用，特別是在群論、代數、幾何和物理學中。通過研究抽象群，我們可以發現不同類型的群的共同特徵和性質，而不必關心它們的特定實現。