偏導數意思

偏導數（Partial derivative）是微積分中的一個概念，用於描述多變量函數如何隨著一個變量變化而變化，同時保持其他變量不變。當一個函數取決於多於一個變量時，偏導數有助於我們理解這個函數的行為。

假設我們有一個函數f(x, y)，它取決於兩個變量x和y。偏導數就是通過保持y不變來研究f如何隨著x變化，或者保持x不變來研究f如何隨著y變化。

例如，考慮函數f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2。這個函數取決於x和y。我們可以通過以下方式來計算f對x的偏導數：

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}

將函數f的表達式代入，我們得到：

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 + 2(x + h)y + y^2 - (x^2 + 2xy + y^2)}{h}

通過展開和簡化，我們得到：

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y

這就是f對x的偏導數。它告訴我們，當y保持不變時，f如何隨著x的變化而變化。

偏導數在物理學、工程學、經濟學和許多其他領域都有廣泛應用，用於建模和分析複雜的現象。