點乘意思

點乘（dot product），又稱為內積、內點積或標量積，是數學中的一種運算，用於兩個向量的乘法，結果是一個標量。在幾何上，點乘可以理解為向量長度（即模）的乘積和它們之間的夾角的餘弦值。公式表達為：

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta ]

其中，( \mathbf{a} ) 和 \( \mathbf{b} ) 是兩個向量，( |\mathbf{a}| ) 和 ( |\mathbf{b}| ) 分別是它們的長度，( \theta ) 是它們之間的夾角。

點乘具有以下幾個性質：

交換律：( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} )。
分配律：( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} )。
正定性：如果 ( \mathbf{a} ) 和 ( \mathbf{b} ) 方向相同，則 ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) 為正；如果它們方向相反，則 ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) 為負；如果它們相互垂直，則 ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) 為0。
三角不等式：( |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| )。

點乘在物理學、工程學和計算機科學中有很多應用，例如在線性代數中，它是構建向量空間的重要操作；在機器學習和數據分析中，用於特徵分解和數據降維；在圖形學中，用於計算向量的投影和光的反射等。