轉置矩陣是什麼意思

轉置矩陣（Transpose Matrix）是線性代數中的一個概念，指的是將一個矩陣的行與列互換，從而得到一個新的矩陣。換句話說，轉置矩陣就是將原矩陣的對角線翻轉過來，即原矩陣的第i行第j列元素變成轉置矩陣的第j行第i列元素。

舉個例子，假設我們有一個2x3的矩陣A：

A = | a11 a12 a13 |
    | a21 a22 a23 |

那麼A的轉置矩陣AT為：

AT = | a11 a21 |
    | a12 a22 |
    | a13 a23 |

轉置矩陣的運算符通常是在矩陣的標記上加上一個上標T，例如：A^T。

轉置矩陣具有以下幾個重要特性：

1. 交換律：對於任意矩陣A和B，有 (AB)^T = B^T A^T。
2. 單位矩陣：如果A是一個n x n的矩陣，那麼AA^T = A^T A = A。
3. 內積：向量u和v的內積等於它們作為列向量的矩陣的轉置矩陣，即 u^T v = (v^T u)^T。
4. 正交矩陣：如果A是一個n x n的正交矩陣（即AA^T = A^T A = I，其中I是單位矩陣），那麼A^T = A^(-1)，即轉置矩陣等於逆矩陣。

轉置矩陣在線性代數、數值分析、機器學習和數據科學等領域都有著廣泛的應用。