李群是什麼意思

李群（Lie Group）是數學中一個重要的概念，由挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）在19世紀末提出。李群是指一個同時具有群結構和光滑流形結構的幾何對象。更準確地說，李群是一個連續群，即一個具有群結構的微分流形，使得群操作也是光滑映射。

李群的例子包括：

1. 正交群 O(n)：包含所有 n 維實數空間中保持內積不變的線性變換。
2. 特殊正交群 SO(n)：正交群 O(n) 中的單連通部分，即那些可逆線性變換，它們的行列式為 1。
3. 閔科夫斯基空間中的洛倫茲群：描述了相對論性物理學中的空間對稱性。
4. 複數數乘法群 U(1)：即圓群，在電磁學中與相位角相關。
5. 特殊線性群 SL(n, ℝ)：包含所有 n 維實數空間中的線性變換，它們的行列式為 1。

李群在物理學、數學物理、數學分析、代數幾何和表示論中都有著廣泛的應用。它們在量子力學、相對論和粒子物理學中的對稱性問題中尤其重要。李群的表示理論是研究李群的重要工具，它將李群與其子代數的表示聯繫起來，這在量子力學和量子場論中非常有用。