方向導數意思

方向導數（Directional derivative）是微積分中的一個概念，用來描述函數在一個特定方向上的變化率。在幾何意義上，方向導數可以理解為函數在一個特定方向上的斜率。

假設我們有一個函數 f(x, y) 給定在平面上的某個點 (x0, y0)，我們想要知道這個函數在點 (x0, y0) 沿著一個特定方向（由單位向量 \vec{v} 指定）的變化率。這裡的單位向量 \vec{v} 可以表示為 (\cos \theta, \sin \theta)，其中 \theta 是向量 \vec{v} 與 x 軸正方向的夾角。

方向導數的定義為：

[ D_{\vec{v}} f(x_0, y0) = \lim{h \to 0} \frac{f(x_0 + h\cos \theta, y_0 + h\sin \theta) - f(x_0, y_0)}{h} ]

這裡，( D_{\vec{v}} f(x_0, y_0) ) 表示函數 f 在點 (x0, y0) 沿著方向 \vec{v} 的導數。如果這個極限存在，那麼函數 f 在點 (x0, y0) 沿著方向 \vec{v} 是可微的。

方向導數有時也稱為偏導數的組合，因為它可以表示為兩個偏導數的乘積：

[ D_{\vec{v}} f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \sin \theta ]

方向導數在多變量函數的極值問題中非常有用，尤其是在研究函數在某個特定方向上的增長或減少趨勢時。此外，它也是向量分析中梯度、散度和旋度的基礎概念之一。