實分析是什麼意思

實分析（Real Analysis）是數學中的一個分支，主要研究實數線上的函數的性質。它包括了微積分學的嚴格基礎，以及微積分在更廣泛和深入的層面上的應用。實分析的內容通常包括以下幾個方面：

集合論基礎：介紹集合的基本運算和性質，以及數學中的基本結構，如序數、範疇和拓撲空間。
數學分析：這部分包括了實數線上的連續函數、函數的導數和積分等概念的嚴格定義和性質。實分析會從集合和函數的觀點出發，而不是像初等微積分那樣從數值和幾何的觀點出發。
測度論：這是一個研究集合大小或體積的理論，包括了測度的概念、可測集、勒貝格測度等。測度論是實分析中非常重要的一部分，它是積分理論的基礎。
積分論：這部分包括了勒貝格積分的定義、性質和應用。實分析中的積分理論比初等微積分中的要嚴格得多，它考慮了函數的幾乎所有可能的情況。
函數空間：這部分研究的是函數的集合，如連續函數、可微函數等，以及這些集合上的運算和結構。

實分析不僅僅是微積分學的深入研究，它還為其他數學分支提供了基礎，如機率論、偏微分方程、泛函分析等。實分析的結果和方法在這些領域中都有著廣泛的應用。