向量數乘是什麼意思

在數學中，特別是在向量代數（也稱為線性代數）中，向量數乘是指將一個數字（也稱為標量）乘以一個向量。這種操作改變了向量的長度（大小），但不改變它的方向。

向量數乘的運算可以表示為：

[ \mathbf{v} = k \mathbf{u} ]

其中：

• (\mathbf{v}) 是結果向量，
• (k) 是標量數字，
• (\mathbf{u}) 是原始向量。

向量數乘具有以下幾個性質：

1. 分配律：對於任何向量 (\mathbf{u}) 和 (\mathbf{v})，以及標量 (k) 和 (l)，有 [ k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v} ] [ (k + l)\mathbf{u} = k\mathbf{u} + l\mathbf{u} ] [ (kl)\mathbf{u} = k(l\mathbf{u}) ]

2. 結合律：對於任何向量 (\mathbf{u}) 和標量 (k) 和 (l)，有 [ k(l\mathbf{u}) = (kl)\mathbf{u} ]

3. 反身性：對於任何向量 (\mathbf{u})，有 [ 1\mathbf{u} = \mathbf{u} ]

4. 對偶性：向量數乘的結果與數字的順序無關，即 [ k\mathbf{u} = \mathbf{u}k ]

向量數乘在物理學、工程學和許多其他領域中都有著廣泛的應用，例如在力學中，力的大小通常是用數乘來描述的。