可微是什麼意思

在數學中，特別是微積分中，可微（differentiable）是一個函式具有特定性質的條件。當一個函式在某一點可微時，意味著該函式在該點附近的圖象可以光滑地彎曲，並且可以通過在該點處的函式值的導數來描述這種彎曲的程度。

更具體地，對於函式f在點x0處可微，這意味著存在一個極限：

lim (x -> x0) (f(x) - f(x0)) / (x - x0)

這個極限存在並且等於f在x0處的導數。這個極限給出了在x0附近的變化率，而導數則給出了在x0處的瞬時變化率。

可微與連續是不同的概念，雖然它們之間有密切的關係。一個函式要可微，必須首先在該點連續。在實數軸上，所有可微的函式都是連續的，但在某些情況下，連續函式並不總是可微的。例如，函式f(x) = |x|在x = 0處連續，但在該點不可微，因為它的圖象在x = 0處有尖點。

在多元函式的情況下，可微的概念可以擴展到向量值函式，這時需要考慮偏導數和全微分。一個多元函式在一點可微，意味著它的所有偏導數在那個點都存在，並且這些偏導數的組合給出了函式在該點附近的變化率。