全微分是什麼意思

在數學中，全微分（total differential）是一個函式在某個點的小變化量的線性近似。更準確地說，如果函式 ( f ) 具有二階連續偏導數，那麼在全微分 ( df ) 可以表示為 ( f ) 的各個變數的偏導數的乘積與這些變數的小變化量的和。

全微分的公式可以寫成：

[ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \cdots ]

其中 ( x ), ( y ) 是函式 ( f ) 的自變數，( dx ), ( dy ) 是這些自變數的小變化量，( \frac{\partial f}{\partial x} ) 和 ( \frac{\partial f}{\partial y} ) 分別是 ( f ) 關於 ( x ) 和 ( y ) 的偏導數。

全微分在多元函式的泰勒展開中非常有用，它提供了一種在複雜函式上進行微小變化分析的方法。在物理學和工程學中，全微分也被用來描述能量、動量和其他物理量的微小變化。