伽瑪分布是什麼意思

伽瑪分布（Gamma distribution）是一種連續型機率分布，用於描述非負實數範圍內的變量。它可以用來模擬各種現實世界中的數據，例如等待時間、信號強度、失敗次數等。伽瑪分布的定義如下：

設X是一個非負實數變量，其機率密度函數（PDF）為：

f(x; k, θ) = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1} e^{-\frac{x}{\theta}}

其中，k是一個正整數，稱為shape parameter（形狀參數）；θ是一個正數，稱為scale parameter（尺度參數）；\Gamma(k)是伽瑪函數，用來確定積分的歸一化。

伽瑪分布的累積分布函數（CDF）可以通過積分得到：

F(x; k, θ) = \int_{0}^{x} f(t; k, θ) dt

伽瑪分布有幾個重要的特例：

1. 當k = 1時，伽瑪分布變成了 exponential distribution（指數分布），這時機率密度函數簡化為：

f(x; 1, θ) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}

2. 當θ = 1時，伽瑪分布變成了 Erlang distribution（埃爾朗分布），這時機率密度函數簡化為：

f(x; k, 1) = \frac{k(k-1)}{2!} x^{k-2} e^{-x}

伽瑪分布的性質和應用非常廣泛，它可以用來模擬各種隨機過程，尤其是在統計學、電信、生物學、物理學和工程學等領域。