仿射變換意思

仿射變換（Affine transformation）是一種在幾何學和數學中廣泛使用的變換方式，它能夠保持圖形或物體的「仿射性質」，即平行性、線段長度比和交點的性質。仿射變換包括了平移、旋轉、縮放（比例變化）和錯切這四種基本的剛體運動，以及它們的組合。

仿射變換可以通過一個3x3的矩陣來描述，這個矩陣稱為仿射矩陣或剛體矩陣。一個n維空間中的點 ( P = (x_1, x_2, \ldots, x_n) ) 經過仿射變換後會變成 ( P' = (x_1', x_2', \ldots, x_n') )，其中 ( P' ) 和 \$ P ) 之間的關係可以用一個仿射矩陣 ( A ) 和一個向量 ( b ) 來表示：

[ \begin{bmatrix} x_1' \ x_2' \ \vdots \ x_n' \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a{11} & a{12} & \cdots & a_{1n} & b1 \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} & b2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} & b_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{bmatrix}

這裡 ( A ) 是一個 ( n \times n ) 的矩陣，( b ) 是一個 ( n ) 維的向量，而 ( P' = AP + b )。在這個公式中，最後一行 ( (1, 1, \ldots, 1) ) 表示平移向量，它確保了仿射變換的平移部分。

仿射變換在計算機圖形學、影像處理、機器視覺、物理模擬和工程學中都有著重要的應用。例如，在遊戲開發中，它可以用來平移、旋轉和縮放遊戲中的角色和物體；在影像處理中，可以用來對影像進行變換和校正。