二次規劃意思

二次規劃（Quadratic Programming, QP）是一種數學規劃問題，其中目標函數是一個二次函數，而約束條件可以是線性或二次的。二次規劃問題在許多領域中都有應用，例如機器學習、控制理論、運籌學和金融工程等。

二次規劃問題的一般形式可以表示為：

[ \begin{aligned} \text{minimize } & f(x) = \frac{1}{2} x^T H x + g^T x \ \text{subject to } & Ax \leq b \ & Cx = d \ & x{\text{lower}} \leq x \leq x{\text{upper}} \ \end{aligned} ]

其中，( x )是變量向量，( H )是二次項係數矩陣，( g )是一次項係數向量，( A )是約束條件左邊的矩陣，( b )是約束條件右邊的向量，( C )是 equality constraints 的係數矩陣，( d )是 equality constraints 的常數向量，( x{\text{lower}} )和 ( x{\text{upper}} )分別是變量的下界和上界。

二次規劃問題的解法通常涉及專門的算法，如內點法（Interior Point Methods）或active set methods。這些算法可以有效地找到滿足所有約束條件的最佳解。

二次規劃問題在機器學習中尤其重要，例如在支持向量機（Support Vector Machines, SVM）中，對偶問題通常是一個二次規劃問題。在許多優化庫和框架中，都有實現二次規劃問題的解算器，例如CVXPY、SCS、Gurobi等。